傅立叶变换的定义分析化学中的定义

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 23:42:02
傅立叶变换的定义分析化学中的定义

傅立叶变换的定义分析化学中的定义
傅立叶变换的定义
分析化学中的定义

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傅里叶变换
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傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出,所以以其名字来命名以示纪念.
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.
傅立叶变换属于调和分析的内容."分析"二字,可以解释为深入的研究.从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析"而已.它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究.从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的.比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段.
在数学领域,也是这样,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征."任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用.
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目录 [隐藏]
1 傅立叶变换的不同变种
1.1 连续傅立叶变换
1.2 傅立叶级数
1.3 离散傅立叶变换
1.4 其他展示方式
1.5 傅里叶变换家族
2 参见

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傅立叶变换的不同变种
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连续傅立叶变换
一般情况下,若"傅立叶变换"一词的前面未加任何修饰语,则可认为是"连续傅立叶变换"."连续傅立叶变换"将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式.

上式其实表示的是连续傅立叶变换的逆变换,即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分. 反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式. 一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅立叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair).
请参见连续傅立叶变换(continuous Fourier transform)词条 来获取进一步的了解. 一种对连续傅立叶变换(continuous Fourier transform) 的推广称为分形傅立叶变换(fractional Fourier transform).
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 或 正弦变换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.
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傅立叶级数
连续形式的傅立叶变换其实是傅立叶级数的推广,因为,积分其实是一种极限形式的求和算子而已.对于周期函数,其傅立叶级数是存在的:

Fn 为复振幅. 对于实值函数, 函数的傅立叶级数可以写成:

an and bn 是实的频率分量振幅.
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离散傅立叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅立叶变换, 必须将函数xk 定义在离散域而不是连续域, again finite or periodic. 这种情况下, 使用离散傅立叶变换 (DFT), 将函数 xk 表示为下面的求和形式:

fj 是傅立叶振幅. 虽然直接使用这个公式的复杂度是O(n2) , 但是使用 快速傅立叶变换 (FFT) 算法(参考大O 记法)可以将算法复杂度改进为O(n log n) , 这使得傅立叶成为在计算机领域里十分实用且重要的处理方法.
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其他展示方式
The DFT is a special case of (and is sometimes used as an approximation for) the discrete-time Fourier transform (DTFT), in which the xk are defined over discrete but infinite domains, and thus the spectrum is continuous and periodic. The DTFT is essentially the inverse of the Fourier series.
这些傅立叶变换的变种可以被更统一的表述成任意局部紧(locally compact)的阿贝尔(abelian)拓扑群(topological group)上的傅立叶变换,这一问题属于调和分析(harmonic analysis)的范畴; 在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group). This treatment also allows a general formulation of the convolution theorem, which relates Fourier transforms and convolutions. See also the Pontryagin duality for the generalized underpinnings of the Fourier transform.
时频分析变换,比如短时傅立叶变换, 小波变换, chirplet transform, 和分形傅立叶变换 试图得到信号的频率信息,而这个信号是一个时间函数 (或者是别的什么独立变量), 虽然同时解析频率和时间的能力(在数学上)受不确定原理的限制.
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傅里叶变换家族
下表列出了傅立叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性
离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性
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参见
正交变换
傅里叶级数
连续傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
拉普拉斯变换
小波变换
帕斯瓦尔定理
“傅里叶变换”是与数学相关的未完成小作品.欢迎您积极编辑或修订扩充其内容.
取自"http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2"
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