已知x>1,求证:lgx+logx10≥2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 05:24:56
已知x>1,求证:lgx+logx10≥2

已知x>1,求证:lgx+logx10≥2
已知x>1,求证:lgx+logx10≥2

已知x>1,求证:lgx+logx10≥2
因为x>1,所以lnx>0
lgx+logx10=lnx/ln10 + ln10/lnx
=(lnx^2+lny^2)/(lnx*ln10)
=[(lnx-lny)^2+lnx*ln10]/(lnx*ln10)
>=2* lnx/ln10 * ln10/lnx=2

lgx+logx10=lgx+lg10/1gx=lgx+ 1/lgx ≥2 (均值不等式)
x+1/x ≥2 (当X>0)

lgx+logx10=lgx+lg10/1gx=lgx+1/lgx
换元,设t=lgx
lgx+logx10=t+1/t(t>0)
如果学过均值不等式就可以直接t+1/t≥2
如果没学过均值不等式还可以用
t+1/t=(sqrt(t)-1/sqrt(t))^2+2≥2
sqrt表示平方根

因为x>1,所以lnx>0
lgx+logx10=lnx/ln10 + ln10/lnx
=(lnx^2+lny^2)/(lnx*ln10)
=[(lnx-lny)^2+lnx*ln10]/(lnx*ln10)
>=2* lnx/ln10 * ln10/lnx=2