作业帮定积分几何应用
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:56:08
定积分几何应用
定积分几何应用
定积分几何应用
联立方程,求其交点.
交点共四个,分别为：第一象限(ab/√（a²+b²）,ab/√（a²+b²））,第四象限(ab/√（a²+b²）,-ab/√（a²+b²））,第三象限(-ab/√（a²+b²）,ab/√（a²+b²））,第四象限(-ab/√（a²+b²）,-ab/√（a²+b²））.
以x轴为积分变量,显然所求面积分为三个积分区间：
1、从x1=-b到x2=-ab/√（a²+b²）,积分表达式（被积函数）为：f1(x)=y=2a√（1-x²/b²）.
2、从x2=-ab/√（a²+b²）到x3=ab/√（a²+b²）,积分表达式（被积函数）为：f2(x)=y=2b√（1-x²/a²）.
3、从x3=ab/√（a²+b²）到x4=b,积分表达式（被积函数）为：f3(x)=y=2a√（1-x²/b²）.
运用定积分公式：S=∫1+∫2+∫3=∫（x1,x2)f1(x)dx+∫(x2,x3)f2(x)dx+∫(x3,x4)f3(x)dx
即可求出公共部分的面积.由于计算过程在这里书写困难,剩余的就是积分计算的问题,应该不是什么难题了.
0.4142 (a^2 - 2 b^2 ) ^(1/2)
atanh(-------------------------------------) a b^2
a
16 --------------------------------------------------
(a ^2 - 2 b^2 )^(1/2)
方程联立得到两台曲线的4个交点坐标为：
x = ±ab/√(a²+b²)；y = ±ab/√(a²+b²)；
围成的图形为关于x，y轴对称、关于原点中心对称的图形，只研究椭圆在y=0--ab/√(a²+b²)
区间与 y=x所围成的区域面积(第一象限)即可，它为总面积的1/8;
对应每一个y值，该区域以dy为高度的面积微元, 左侧以y=x为界，x=y；右侧以椭圆周为界，
x = a√(1- y²/b²)，因此有：
ds = [a√(1- y²/b²) –y]*dy
S = 8*[0,ab/√(a²+b²)]∫[a√(1- y²/b²) –y]*dy
设半短轴为b，作变换 y = bsint，则dy=bcost*dt；t 的积分区间为 [0，θ]，
其中 bsinθ=ab/√(a²+b²) ==> θ = arcsin(a/√(a²+b²))，原式变为
S = 8*[0, θ]∫[a*cost –b*sint]*b*cost*dt
= 8*[0, θ]∫[ab*cos²t dt - 8*[0, θ]∫b²*sint*d(dsint)
=4*[0, θ]∫[ab*(1+cos2t) dt - 4 (b*sint)²|[0, θ]
=4ab*t|[0, θ] + 2sin2t|[0, θ] - 4 (b*sint)²|[0, θ]
=4ab* arcsin(a/√(a²+b²)) + 4absinθ*cosθ- 4 (b*sinθ)²
=4ab* arcsin(a/√(a²+b²)) + 4ab*[ab/(a²+b²)] - 4 [a²b²/(a²+b²)]
= 4ab* arcsin(a/√(a²+b²))
两椭圆围成的区域的面积为4ab* arcsin(a/√(a²+b²))