求证77^77-1能被19整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 14:00:18

求证77^77-1能被19整除
求证77^77-1能被19整除

求证77^77-1能被19整除
用数学归纳法证77^(2n-1)+1能被19整除.
1.n=1时 77^1-1=76可以被19整除
2.设n=m时能被19整除,-->77^(2m-1)+1=19k,k为整数->77^(2m-1)=19k-1
3.当n=m+1时,77^(2(m+1)-1)+1=77^(2m-1)*77^2+1=(19k-1)*77^2+1=19k*77^2-77^2+1=19k*77^2-5928,由于5928能被19整除所以这明显是8的倍数.
4.于是得证77^(2n-1)+1能被19整除
当n=39时77^77-1能被19整除

77^77
= (19*4+1)^(19*4+1)-1 mod 19
= 1-1 mod 19
= 0 mod 19
所以77^77-1能被19整除

二项式定理展开77=（76+1）
所以77^77=（76+1）^77=……+1 省略号全含有76的倍数
76能被19整除，所以77^77-1能被19整除

77^77-1
= (77-1)(77^76+77^75+......................................+77+1)
= 76 * (77^76+77^75+......................................+77+1)
而 19|76
所以 19|77^77-1

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