作业帮已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对（p,q).注：x^2表示x的平方.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 17:59:32
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对（p,q).注：x^2表示x的平方.
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对（p,q).
注：x^2表示x的平方.
已知p、q都是质数,且使得关于x的一元二次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有实数对（p,q).注：x^2表示x的平方.
令方程的两根分别为A、B,且A为正整数.
由韦达定理,有：A＋B＝8p－10q、且AB＝5pq.
∵A是正整数,p、q都是质数,
∴A只能在下面的数中选取：1、5、p、q、5p、5q、pq、5pq.
一、当A＝1时,B＝5pq,∴1＋5pq＝8p－10q,∴5q（p＋2）－8（p＋2）＝－17,
∴（p＋2）（8－5q）＝17.
∵p＋2＞2,∴p＋2＝17,得：p＝15＝3×5,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
二、当A＝5时,B＝pq,∴5＋pq＝8p－10q,∴p（q－8）＋10（q－8）＝－85,
∴（8－q）（p＋10）＝85＝5×17.
∵p＋10＞10,∴p＋10＝17,或p＋10＝85.
①由p＋10＝17,得：p＝7,此时8－q＝5,得：q＝3.
②由p＋10＝85,得：p＝75＝5×15,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
三、当A＝p时,B＝5q,∴p＋5q＝8p－10q,∴15q＝7p.
∵q的质数,∴q＝7,从而有p＝15＝3×5.与q为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
四、当A＝q时,B＝5p,∴q＋5p＝8p－10q,∴11q＝3p.
∴p＝11、q＝3.
五、当A＝5p时,B＝q,∴5p＋q＝8p－10q,∴11q＝3p.
∴p＝11、q＝3.
六、当A＝5q时,B＝p,∴5q＋p＝8p－10q,∴15q＝7p.
∵q的质数,∴q＝7,从而有p＝15＝3×5.与q为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
七、当A＝pq时,B＝5,∴pq＋5＝8p－10q,∴p（q－8）＋10（q－8）＝－85,
∴（8－q）（p＋10）＝85＝5×17.
∵p＋10＞10,∴p＋10＝17,或p＋10＝85.
①由p＋10＝17,得：p＝7,此时8－q＝5,得：q＝3.
②由p＋10＝85,得：p＝75＝5×15,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
八、当A＝5pq时,B＝1,∴5pq＋1＝8p－10q,∴5q（p＋2）－8（p＋2）＝－17,
∴（p＋2）（8－5q）＝17.
∵p＋2＞2,∴p＋2＝17,得：p＝15＝3×5,与p为质数矛盾,∴这种情况应舍去.
综上各述,得：满足条件的实数对（p,q）有两组,分别是（7,3）、（11,3）.