作业帮如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边三角形ABC外的一点,角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立?请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:35:54
如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边三角形ABC外的一点,角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立?请说明理由
如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边三角形ABC外的一点,角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立?请说明理由
如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边三角形ABC外的一点,角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立?请说明理由
证明：
在△ABC外侧(BC的下方)找一点D,使∠DBC=∠ABP且BD=BP 连接BD、BP、CD
∵∠DBC=∠ABP
∴∠ABC=∠PBD=60°
∵BD=BP
∴△BDP是等边三角形
∴∠BPD=60°
∵∠BPC=150°
∴∠CPD=∠BPC-∠BPD=90°
∴PD²+PC²=CD²
△ABP≌△CBD (AB=AC ∠ABP=∠CBD BD=BD)
∴PA=CD PB=PD(△PBD是等边三角形)
代入PD²+PC²=CD² 得
PA²=PB²+PC²
证：
在△PBC外侧,以PC为边作等边三角形PCD,连接PA,BD
大致思路：AC=BC,∠ACP=∠BCD,PC=DC
得△ACP≌△BCD,→AP=BD
Rt△BPD中,∠BPD=∠BPC+∠CPD=90°
→PB²+PD²=BD² + PC=PD →PB²+PC²=PA²
∵等边三角形ABC中
∴AC=BC（等边三角形各边相等）
∴∠ACB=60°（等边三角形各角60°）
同理,PC=DC=PD,∠CPD=∠PCD=60°
∴∠ACB=∠PCD（等量代换）
∴∠ACB+∠BCP=∠PCD+∠BCP（等式性质）
即∠ACP=∠BCD
在△ACP与△BCD中
AC=BC
∠ACP=∠BCD
PC=DC
∴△ACP≌△BCD（SAS）
∴AP=BD（全等三角形对应边相等）
∵∠BPC=30°
∴∠BPD=∠BPC+∠PCD
=30°+60°
=90°
∴Rt△BPD中,PB²+PD²=BD²（勾股定理）
∴PB²+PC²=PA²（等量代换）